Similitudine meccanica

Salve marinai, è da tanto che non ci si sente!

La ciurma è tornata da un bel po' dalle fatiche del viaggio, e a giorni vi racconteremo tutto.

Per il momento vi aggiorno su una curiosità che ho trovato leggendo il libro di Meccanica di Landau (l'avevo letta pure prima di partire, ma non avevo apprezzato appieno:)!!).

Lo potete anche leggere da soli nel paragrafo 10, che si chiama "Similitudine meccanica".

Prima di tutto serve la constatazione che se si moltiplica per una costante arbitraria la funzione di Lagrange L, non si alterano le equazioni del moto.

Infatti per un punto materiale l'eq del moto è:

d/dt (∂L/∂v) - ∂L/∂r=0

se L->μL, data la linearità degli operatori di sopra, avrò:

μ [ d/dt (∂L/∂v) - ∂L/∂r ]=0

e quindi torno alla stessa eq. del moto essendo il fattore μ insignificante.

Questo implica che dato un pianeta, qualsiasi massa abbia, per conoscerne l'orbita basta fornire posizione e velocità iniziale. Pure questo è abbastanza notevole, ma dovevo saperlo da tempo...ehm...



Ammettiamo di avere a che fare con un energia potenziale che sia una f. omogenea delle coordinate, cioè tale che U(αr1, αr2, ... ,αrn)=α^k U(r1, r2, .... , rn).

Moltiplico ora le coordinate per α e il tempo per β.

Allora T-> T ' = (α/β)^2 * T;

U-> U ' = (α^k) * U.

Se il fattore per cui viene moltiplicata T è lo stesso per cui viene moltiplicata U, quindi

β=α^(1-k/2), L viene moltiplicata per una costante che non influisce sull'equazione del moto, ma l'operazione eseguita sulle coordinate implica che ora mi trovo a considerare una traiettoria simile alla prima: le equazioni del moto ammettono (non esclusivamente) traiettorie simili.

Prendiamo due pianeti: A e B.

All'inizio dei tempi, il primo dista dal Sole, centro del sistema di riferimento, 3UA e ha come velocità iniziale (0, 2, 0) UA/anni.

Il secondo dista dal Sole 6UA e ha come velocità iniziale (0, 2*2^(-0.5), 0) UA/anni. Ammettiamo inoltre per semplicità che i vettori posizione siano paralleli.

Il tempo t impiegato da A per coprire l'arco di ellisse l=∫ dr, e t' impegato da B per percorrere il corrispondente tratto sulla sua orbita, sono in un rapporto ben determinato, β=(l'/l)^(3/2), come si vede a occhio dalla formula di sopra.

Questo dovrebbe implicare che i periodi dei due pianeti siano proprio in quel rapporto...ho provato ad inserire i dati nel programma dei pianeti scritto per il secondo corso di programmazione...e magicamente torna tutto:)!!!

Cerco di spiegarmi meglio:

i dati curiosi che ho scritto in alto nascondono una logica: per far in modo che sia T sia U vengano moltiplicati per la stessa costante, e quindi avere traiettorie simili, devo stare attento ai valori iniziali che assegno.

Essendo nel caso gravitazionale k=-1, se α=2, allora per avere traiettorie simili devo scegliere β=α^(3/2)=2^(3/2). Quindi, poichè v-> v ' = (α/β) v, la componente y della velocità di B deve essere quella che ho scritto sopra.

In tal modo, si riscontra che i periodi da A e B sono proprio nel rapporto aspettato β.



Da tutto questo segue anche che se

- k=2, allora i periodi delle oscillazioni non dipendono dalla ampiezze, come sappiamo;

- k=1, allora nella caduta dei corpi, i quadrati dei tempi sono proporzionali alle altezze da cui cadono;

- k=-1, allora i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi delle dimensioni lineari delle orbite.



Per i non fisici, cercherò dopo domenica di mettere a disposizione il programma con cui verificare quello che ho scritto sopra. Come si fa a non dire che questa roba da soddisfazione:)??

T