Successione di Fibonacci

Mah verso l'inizio della navigta della ciurma si parlava di Fibonacci...
non mi ricordo quanto avevamo detto, cmq visto che e' un tema sempre molto carino, proviamo a dare qualche nuovo stimolo ai naviganti ;)

si definisce per ricorsione la successione detta di fibonacci
f(n)=f(n-1)+f(n-2) #1
si nota (ovvero si suppone, va dimostrato!) che la successione
f(n)/f(n-1) #2
costruita con gli elementi della precedente
è limitata e tende al valore X
che soddisfa la seguente relazione
X^2=X+1 #3
come si vede dalla #2 e #1, infatti
f(n)/f(n-1)=[f(n-1)+f(n-2)]/f(n-1)=1+f(n-2)/f(n-1)

ovvero, passando al limite,
X=1+1/X
che e' proprio la #3, che ha come soluzioni X=(1+-radice5)/2 =ca 1.618


bene.
la sezione aurea viene inizialmente definita piu' o meno in questo modo: "si abbia un segmento. lo si divida in due parti non uguali in modo tale che tutto il segmento stia alla parte piu' grande come la parte grande sta alla parte piccola", ovvero in formule (a+b)/a=a/b
dobbiamo ora solo vedere che tale rapporto coincide proprio con il limite della successione #2, cioe' X
quindi (a+b)/a=a/b=S
S=1+b/a=1+1/S
cioe' la sezione aurea soddisfa la stessa relazione #3 che soddisfa il limite della #2. sono la stessa cosa, sono lo stesso numero (irrazionale, c'e' una radice di cinque in gioco!).

molto bene.
un ultimo sfizio:

dalla #3 abbiamo visto si ha X=1+1/X
ora inserendo nella X a denominatore l'espressione stessa di X si ottiene
X=1+1/(1+1/x)
e iterando tale procedura si ottiene la frazione continua molto bella da scrivere con carta e penna e non via post :)