Si dimostra in analisi complessa che tutte le funzioni analitiche hanno zeri isolati nel loro dominio di definizione. Sin (1/z) non fa eccezione perchè anche se in un intorno dell'origine ci sono infiniti zeri, l'origine non appartiene al dominio di analiticità della funzione. Quello che si vede di lato invece è il grafico di una f: R->R infinitamente derivabile in un intorno dell'origine e che ha, nell'origine, uno zero non isolato.
la funzione in esame è f(x)={
exp(-1/x^2)*sin(1/x) se x diverso da 0;
0 se x=0;
sin(1/x) ha infiniti zeri in un intorno dell'origine ma la funzione non ammette limite in 0 perchè oscilla infinite volte in qualsiasi intorno di 0; exp(-1/x^2) è invece una funzione che ha uno zero isolato nell'origine dove ha però tutte le derivate nulle, e cresce così lentamente da avere il polinomio di taylor centrato nell'origine identicamente nullo in un suo intorno.
moltiplicando sin(1/x) per exp(-1/x^2)...abbasso tutte le oscillazioni sull'asse x e quindi ottengo una funzione che in un intorno dell'origine oscilla infinite volte e nell'origine posso definirla 0 perchè il suo limite esiste e vale proprio 0.
Dal grafico eseguito con gnuplot si può avere un'idea del comportamento di f(x).
Non si può fare la stessa cosa con exp(-1/z^2)*sin(1/z) perchè il limite per z->0 della f(z) non esiste, avendo la funzione una singolarità essenziale in z=0.
Quanto alla dimostrazione che gli zeri di una f analitica sono isolati, questa si basa sull'ipotesi che qualsiasi f analitica in un dominio si possa scrivere come serie di Taylor espansa rispetto a un qualsiasi punto del dominio, cosa sempre possibile a causa del fatto che una f analitica è infinitamente derivabile.
Nel caso di una f di variabile reale, ciò non sempre si può fare, perchè la f potrebbe non essere infinitamente derivabile e quindi cadrebbe tutto il resto, ivi compreso che i suoi zeri siano isolati.
Abbiamo avuto qualche problema con questa roba ieri sera...F. Antenucci ci ha rischiarato un po' le idee...
T
4 commenti:
timoniere ma della funzione f(x)=x^2 * sin (1/x) , che mi dici?
capitano...pure se t'ho risposto ieri sera scriviamo sul blog sennò ce lo scordiamo...
x^2sin(1/x) per x->0 ha limite zero quindi si può definire una funzione uguale a 0 nell'origine x^2sin(1/x) altrimenti.
Questa funzione è continua per ogni x e nell'origine ha uno zero non isolato. Però non è una funzione infinitamente derivabile come lo è invece quella proposta da Aglietti, che può essere vista come l'analogo di una funzione analitica nel caso reale (perchè le f analitiche sono infinitamente derivabili) ma che tuttavia ha uno zero non isolato nell'origine!
Lui voleva un controesempio forte, altrimenti di funzioni non infinitamente derivabili ma continue che hanno zeri non isolati ne trovi a bizzeffe (come hai constatato da solo quando hai parlato con Fabrizio).
T
Mitico! Una chiarezza eccellerrima!
Keep up the good work.
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