Nell'ultimo dei quattro compiti (tra esoneri e prove pratiche) degli ultimi 10 giorni, c'era un esercizio che, nella mia classe, nessuno è riuscito a fare.
Dopo il compito sono andato con il capitano e Fabrizio dal nostro ex professore di metodi, quindi ora so qual'è la soluzione.
Lo metto qui, se qualcuno vuole cimentarsi...
A= D^2 + x^2 – x – 6;
D=d/dx;
dominio di A={f(x) appartenente a L2(-2,3); f(-2)=f(3)=0}
dimostrare che gli autovalori dell'operatore A sono tutti negativi.
Buona fortuna.
T
3 commenti:
Ti dico come l'ho "risolto" io.
Il problema agli autovalori è
Af = mf
e poiché
A = D^2 + x^2-x-6 = DpD+q
con p=1, q=x^2-x-6, A è un operatore di Sturm-Liouville con condizioni di Dirichelet, quindi è hermitiano, quindi m è reale.
Fingiamo che, punto per punto in [-2,3], Af-mf=0 sia una equazione differenziale di secondo ordine a coefficienti costanti.
Il polinomio caratteristico
P(k) = k^2 - m + (x^2-x-6) = 0
ammette soluzioni
k^2 = m - (x^2-x-6)
Ora, (x^2-x-6)=(x-3)(x+2) < 0 in [-2,3].
Per m > 0 risulterebbe k^2>0, cioè la soluzione sarebbe una certa
f = Aexp(ax) + Bexp(-ax)
con a reale. Ma una soluzione di questo tipo è incompatibile con la condizione di annullamento di f in due punti, quindi va scartata.
Il caso m=0 è da scartare, in quanto agli estremi dell'intervallo x^2-x-6 si annulla, ed avremmo soluzione nella forma
f = Ax + B
anch'essa incompatibile con l'annullamento in due punti.
Dev'essere quindi m<0, in modo tale che la soluzione sia cosinusoidale, e che
f = Asin(bx) + Bcos(bx)
con b reale, soddisfi le condizioni di Dirichelet imposte.
a.p.
Bisogna scoprire il legame tra tutte le infinite soluzioni trovate per l'eq differenziale a coeff costanti che si ha punto per punto, e la soluzione (unica) dell'eq diff a coeff variabili che si aveva in origine. Forse neanche è noto. Potremmo pensarci un po' tra qualche giorno...
Aspetto ancora qualche giorno a pubblicare la soluzione, il marinaio ha detto che voleva cimentarsi.
A giorni spero di poter rilanciare anche le discussioni sugli argomenti di elettromagnetismo del capitano.
Ciao
Con un bel po' di ritardo...ecco a voi la soluzione del famigerato esercizio che terrorizzò un intero canale e che quel disgraziato di professore fece finta di non aver mai dato...
il dominio dell'operatore A è lo spazio delle f di L2 (-2,3) tali che agli estremi le f siano nulle.
scrivo l'equazione agli autovalori:
A f = λ f ;
fxx + (x^2-x-6)f = λ f ;
f*fxx + (x^2-x-6)f^2 = λ f^2 ;
Ora integro primo e secondo membro da -2 a 3.
Il secondo membro diventa
λ || f ||.
L'integrale del primo termine del secondo membro si fa per parti e viene fx*f (calcolato tra -2 e 3...e quindi 0) - integrale da -2 a 3 di fx^2. Essendo la funzione integranda sempre positiva nell'intervallo di integrazione, l'integrale col meno davanti sarà una quantità negativa che chiamo -M (M>0).
Per il secondo termine dell'integrale il discorso si fa un po' delicato.
Il polinomio x^2-x-6 è sempre negativo nell'intervallo.
esso moltiplica una funzione (f^2) che è invece sempre positiva in questo intervallo...dunque la funzione integranda sarà sempre negativa e quindi il secondo termine del primo membro sarà negativo (-K, con K>0)
Si arriva così all'uguaglianza
-M-K= λ || f ||
poichè a primo membro c'è una quantità negativa, si è dimostrato che λ può assumere solo valori negativi.
Si noti che il problema così come ci è stato posto non era semplice e che la soluzione è risultata banale ( ma sfido Kolmogorov a farsela venire in mente all'esonero ) solo perchè quel polinomio è sempre negaativo tra -2 e 3. Se ciò non fosse avvenuto, la soluzione si doveva cercare per altre strade.
Ultima nota polemica: il prof Aglietti ha detto che funzioni, come quel polinomio, che rendono semplice la soluzione di problemi come questi si chiamano FUNZIONI SPECIALI.
Noi a lezione (in tutte quelle tantissime lezioni che ci sono state tenute...) ne abbiamo sentito parlare 1000 volte.
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