The Sleeper chiede:
Qual'è la dimensione dello spazio dei reali costruito sui razionali?
Poi stamattina ha avuto la brillante idea di informarmi di alcune cose paradossali, ma che non si sa mai, magari un giorno potrebbero essere utili:)
NON TAPPARE MAI TUTTI I BUCHI DEL CORPO CONTEMPORANEAMENTE!
Infatti in una siringa senza l'ago, se si tappa l'estremità anteriore e si prova a tirare su lo stantuffo, non ci si riesce.
Ciò è perchè si impedisce all'aria di esercitare pressione su una delle due facce dello stantuffo e la pressione atmosferica sull'altra faccia fa il resto.
A proposito di riflessioni interessanti :leggete questa:)
Le ultime riflessioni interessanti del giorno riguardano (capitano, non mi dire che mi do alla politica) un senatore, Gustavo Selva, che s'è dimesso dall'incarico per aver usato l'ambulanza per spostarsi nel traffico di sabato scorso quando a Roma c'era Bush (fonte: Tg2). Non ho parole.
T
25 commenti:
non capisco la domanda.. forse mi manca qualcosa? per spazio intendi spazio come?
..lo spazio vettoriale dei reali costruito sul campo dei razionali
vedeverde che spazio poteva essere:)?
Spazio pubblicitario?
aldilà di quello che tu possa credere non è esiste un solo tipo di spazio!
dunquedunque...
lo spazio vettoriale reale è quello di tutte le successioni di cauchy razionali quozientate.. quindi direi infinito.. anche euristicamente come proporzione ci dovrebbe essere..
ma non sono troppo sicuro...
vedeverde ...si vede che mascia e' stato da te...euristicamente lo dice solo lui....
comunque allora intuitivamente avevo ragione
mascia avrebbe detto
"moralmente".
(R;Q, |.|) è di dimensione infinita.
Dim:
La dimensione di uno spazio vettoriale è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che posso trovare.
Basta prendere:
x1 = 1
x2 = sqrt(2)
x3 = sqrt(3)
x4 = sqrt(5)
x5 = sqrt(7) ... ecc
e così via mettendo la radice di numeri primi, tanto per essere sicuri.. sono infiniti (la dim che sono infiniti la sanno tutti..)
(confido sul fatto che mi abboniate la dimostrazione che sqrt(num primo)è irrazionale.. oltre il 2 non l'ho mai vista, chiedete a vedeverde in caso vi interessi..)
Occorre adesso far vedere che sono lin indipendenti, cioè che:
(1_Sum_n) c_i x_i = 0 iff c_i=0 per ogni i e per ogni n. prendendo i c_i razionali.
Ad occhio è banale che deve essere così, lo faccio vedere per n=2:
c_i x_i + c_j x_j = 0
ci sqrt(p_i) + cj sqrt(p_j) = 0 (p: primo)
ci = - sqrt(pj) * cj / sqrt(pi)
ma cj = a/b con a e b primi tra loro:
ci = - a*sqrt(pj)/(b * sqrt(pi)
A destra ho una frazione con due numeri irrazionali non semplificabili. Quindi a destra è irrazionale sempre tranne che per a=0, cioè per cj=0 e quindi anche ci=0.
Ergo, ho dimostrato che, presi a 2 a 2, i numeri summenzionati sono lin indipendenti. Per n>2 lascio a chi è più volenteroso di me la dimostrazione (e a chi domani non ha un esame di lab).
Quindi ho un num infinito di vettori (x_i) lin indipendenti (non una base eh!) -> la dim dello spazio è infinita.
A questo punto, forse, una domanda più interessante potrebbe essere: come posso prendere una base per questo spazio?
Ecco la dim che le radici di num primi sono irrazionali: è banalmente identica a quella per la radice di 2...
Qui trovate la dimostrazione.
Mi raccomando, se doveste parlare di numeri primi, attenti a non menzionare quelli illegali.. rischiereste grosso!
per trovare una base, procedendo dalla definizione di R come il quoziente delle successioni di Cauchy razionali rispetto alla relazione di equivalenza:
an"="bn sess an-bn -> 0
bisognerebbe, credo, trovare prima una base per le successioni di cauchy razionali, e poi proiettare tipo...
Non so quale possa essere una base per le successioni di cauchy razionali...mmm
infatti mi sa che la strada non puo' essere quella..
è pur vero che [0,1]si puo' mettere in corrispondenza (quasi biunivoca)con le successioni binarie (di 0 e di 1)..
magri ci si puo' pensare no?.. (anche questo per chi non ha un esame domani)
Presi a 2 a 2, i "vettori" scelti da David sono linearmente indipendenti. Proprio da questo segue che se ne prendo di più lo sono lo stesso:
Infatti so che
ci x_i + cj x_j=0 (*) solo per ci=cj=0;
considero la somma c1 x_1 + c2 x_2 +...cn x_n.
Voglio arrivare a dim che ci=0 per qualsiasi i.
Prendo per assurdo cj diverso da 0.
allora x_j= - (c1 x_1 +....cj-1 x_j-1 + cj+1 x_j+1 + ...cn x_n)/cj
guardando la (*) posso scrivere:
ci x_i + cj x_j= ci x_i - c1 x_1 -c2 x_2 - ...ci_xi -...-cj-1 x_j-1 -cj+1 x_j+1 - ...cn x_n.
Come si vede i termini in i si elidono e quelli in j non compaiono proprio...il che implica che (*) è zero per qualsiasi scelta di ci, cj. Questo è assurdo perchè contraddice l'ipotesi che i "vettori" fossero a 2 a 2 indipendenti.
Io che non ho esami domani (ma che sto un capitolo e mezzo indietro a elettromagnetismo:) )ho provato a pensare al problema della base ma non ci sono riuscito. Tra l'altro non credo nemmeno di esserne capace:
questo spazio è infinito dimensionale, come fate a dimostrare che un insieme di vettori lo genera tutto? A me ancora non l'hanno fatto vedere (pugile tu che dici?)...intuisco solo che c'entra parseval o qualcosa del genere. O forse è una stupidaggine.
Mi sa che aspetterò che voi diate i vostri esami(in bocca al lupo!), fiducioso di leggere quello che riuscirete a trovare nei prossimi giorni!
per sleeper...:
se vuoi puoi formulare meglio qui la tua domanda su stevino e la pressione di un gas. Ne ho parlato col capitano, ma non sono stato troppo preciso perchè non ricordavo bene. Forse lui può chiarirti (ci) le idee...
E poi dice che quello che ho scritto sulla siringa non è vero:), capitano scrivece pure questo:)!
Quello che hai scritto mi sembra semmai forse un po impreciso, in quanto non e' chiaro se tra lo stantuffo ed il tappo c'e' aria o no. In caso non ci fosse allora direi che si verifica quello che dici tu, nel caso invece ce ne fosse un po, allora sarebbe sempre difficile allontanare lo stantuffo (forse meno difficile?) a causa dell adifferenza di pressione che si genera: fuori un'atmosfera, dentro meno di un' atmosfera a causa dell'aumento di volume e di PV=nRT con ovvio significato dei simboli...
poi anche se ci tappassiomo (non oso immaginare come) tutti i buchi, non penso che possa avere particolari conseguenze (apparte alcune che meglio non specifichiamo;))...
il mio primo pensiero si rivolse alle ventose...insomma se riuscissimo a mettere qualcosa sul pavimento in modo che sotto non ci sia aria allora avremmo sul qualcosa (che da ora in poi chiamero oggetto)una forza netta verso il basso data dalla pressione atmosferica dell ordine di 10^3N per un oggetto quadrato di lato 10 cm!!!..vi sfido ad alzare l oggetto..
la cosa mi ha turbato ..insomma cos e' che ci salva dal rimanere incollati a terra per movimenti strani che chiamero passi a ventosa?..forse il fatto che se pur minima (e basta minima) un po d aria c e' sempre?
dopodiche ho pensato ai liquidi (perche i gas si comprimono e allora ha ragione il capitano..nessuno si schiaccia e lo stantuffo piu o meno si alza)...la pressione in un liquido ha tutte (quasi )le caratteristiche della pressione in un gas..cioe sperimentalmente si vede che e' uno scalare cioe in un punto il liquido esercita un a certa forza uguale in ogni direzione....
poi..se il liquido e' fermo arriva stevino che ci dice che la pressione dipende solo da quanto altro liquido hai sopra ..
da questo io deduco che in un contenitore chiuso riempito completamente di liquido questo non esercita nessuna pressione sulla parete superiore (quella a profondita zero) ....nei gas non succede perche immagino che una volta compresso il gas mantiene una certa pressione propria anche a profondita zero...
..ma allora questo contenitore sulla parete superiore riceve solo la forza della pressione atmosferica che non e' mica tanto stupida...allora perche' nessuno si rompe?
Premesso che non sono convinto di quello che ti dico, cmq forse ti sbagli dicendo da questo io deduco che in un contenitore chiuso riempito completamente di liquido questo non esercita nessuna pressione sulla parete superiore (quella a profondita zero)
secondo me esercita eccome una pressione,
sul mare abbiamo la pressione dell'aria che gli sta sopra, 1atm che e' anche (forse) la pressione del mare a profondita' zero.(altrimenti non starebbe tutto fermo)
non puoi avere un contenitore con pressione zero, avresti cmq un po di pressione dall'agitazione termica tipo PV=nRT (non proprio cosi' visto che non e' un gas ma piu' o meno)...
nel caso avessi un contenitore ed al suo esterno il vuoto, allora il contenitore stesso dovra' reggere la pressione del gas o liquido che sta all'interno PV=nRT, nel caso fuori ci fosse l'aria di tivoli, allora il contenitore e' aiutato dalla pressione atmosferica...
il "guscio" piu' esterno dell'atmosfera ha pressione zero. sopra di lui c'e' il vuoto, ma questo guscio e' composto da molecole piuttosto distanti tra loro che non esercitano pressione su nulla...
spero di non averti solo confuso le idee...
sleeper comunque stevino non è che arriva :) e spara quella formula, si dimostra tutto...meglio puntualizzare sennò poi arriva vedeverde e ci dice che siamo alchimisti.
...io ho parlato di liquidi proprio perche PV =nRT non credo che valga dato che un liquido e' quasi del tutto incomprimibile..insomma se funziona e' proprio minima la cosa...
..nel mare a profondita zero c e' pressione perche c e' l atmosfera sopra...il mio contenitore e' chiuso e riempito solo di liquido...che non e' a contatto con l atmosfera se non tramite il contenitore stesso...non so se ho reso l idea... potrei fare due esempi distinti..il palloncino pieno d acqua...e la lattina chiusa piena di cocacola (come potrete immaginare la differenza non sta nella bevanda ma nel materiale di cui sono fatti i contenitori....
cioe insomma la domanda e' ..la pressione dell aria si trasmette al liquido tramite il contenitore allo stesso modo a prescindere dal materiale?....
immaginate questo esempio :..se spingo il tubetto di dentifricio ..questo esce..ma posso spingere quanto voglio una bottiglia di vetro tanto il dentifricio che c' e' dentro non uscira mai...
..sh scusa ti non volevo essere cosi impertinente..effettivamente anch io l ho dimostrato
Il problema della base ortonormale di uno spazio vettoriale lo sappiamo fare per gli spazi di Hilbert separabili.
Caro T, se riesci a dire che R costruito su Q è:
- spazio lineare,
- completo (ogni successione di Cauchy ammette limite),
- dotato di prodotto scalare,
allora hai dimostrato che è uno spazio di Hilbert.
Se riesci a dire anche che
- ammette una base numerabile
allora è effettivamente uno spazio di Hilbert separabile.
Poi hai finito, devi "solo" trovare una successione di vettori di quello spazio tale che per ogni altro vettore y risulta
\sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 = ||y||^2
Se invece non vale l'uguaglianza ma un generico minoreuguale (<=), sei solo ricaduto nella generica diseguaglianza di Bessel, con cui puoi fare poco o nulla.
Questo per soddisfare la tua curiosità, caro T. E per quanto abbiamo fatto a modelli, beninteso.
infatti avevo pensato a parseval:
\sum_{i=1}^\infty |y_i|^2 = ||y||^2
ma non mi sembra che l'abbiamo mai fatto, intendo praticamente...
Inoltre tutte le condizioni che si impongono a che servono?
cioè che sia uno spazio separabile va bene (intuisco che altrimenti la serie non avrebbe senso) ma che sia di Hilbert?
Il fatto che sia dotato di prodotto scalare può essere utile per scrivere y_i=(e_i, y) (a patto che e_i sia un vett di una base ortonormale) ma il fatto che sia completo a cosa serve?...forse ad assicurare che la serie converge?
ti chiedo scusa sleeper, ho fatto come previsto un po di confusione...i liquidi non sono gas...
ma onestamente mi sfugge il tuo problema ora... da dove nasce e se lo potessi riformulare...
T, non è che tu, Parseval e lo scanner potreste aggiornarci su completezza e amenità varie? :)
O ma sta bese:)???
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