Sup della funzione x di R-Q |-> x² con x in [-1,1]

Dopo tanto tempo ritorno a scriere sul blog...é il timoniere che vi parla:)!
Alla fine il pugile ha messo a punto una dimostrazione semplice che soddisferà pure vedeverde:) noi qui aspettiamo un suo messaggio di conferma, sempre in qualità di matematico di fiducia della ciurma!
Allora questo è ciò che dice il pugile:
prendo x appartenente a R-Q in [-1,1];
x viene mandato in x²...noi non sappiamo se x² continua ad essere irrazionale, anzi non è affatto detto che lo sia come si vede ad esempio con sqrt (1/2).
L'immagine dell'intervallo [-1,1] è fatta dagli x² e da 1/2. Visto che ai bordi dell'intervallo la x² è chiaramente maggiore di 1/2, posso limitarmi a studiare solo questa parte dell'immagine. Dire che 1 è il sup dell'insieme immagine equivale a dire che per qualsiasi ε posso trovare una x² (elemento dell'insieme immagine) tale che 1-ε < x².
Ma x² ≤ x per x nell'intervallo positivo, quindi 1-ε < x² ≤ x
e si può scrivere:
1-x ≤ ε
quindi 1 è il sup se per qualsiasi e posso trovare x tale che sia soddisfatta quella disuguaglianza...a questo punto la x è irrazionale, e posso costruirla con le somme parziali della serie che tenda ad 1 trovata dal pugile:
xn =1/e * (0Sn) 1/k!
posso far diventare n grande quanto voglio e soddisfare sempre alla richiesta di un ε piccolo.
Insomma...grande pugile!
T