Il fantomatico matematico vedeverde propone i seguenti problemi:
(serie per i che va da uno a infinito:= (iS8))
studiare comportamento di
a)(iS8)1/pi con pi i-esimo numero primo
b)(iS8)1/ni con ni i-esimo naturale che non ha tra le sue cifre 7 (p.e. 1345; 3344455432434)
c)(iS8)1/ki con ki i-esimo naturale che ha tutte le cifre (p.e 1234567890; 3846414054329374)
Gli altri verranno pubblicati nei prossimi giorni, così da dedicare un po' di attenzione a tutti...
Io intanto provo a dare la soluzione:
a)S=1+1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+....
La prima risposta che (mi) viene da dare è che poichè il termine i-esimo va come 1/i, questa serie non converge.
Sto usando il fatto che la serie armonica 1/(i^a) converge se e solo se a>1.
Il fatto è che questa a zero va un po' tanto più veloce di 1/i, quindi pensandoci un po' sono quasi tentato di dire che converge perchè se prendo (ad es) il termine c12 della serie armonica con a=1 ho 1/12, mentre il termine corrispondente di questa serie è 1/31...ora 31 sarà uguale a 12^u con u reale di sicuro positivo...quindi la serie converge!
b)S=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/8+1/9+...
manca il termine 1/7...però è quasi la serie armonica con a=1.
direi a prima vista che manco questa converge, però levare tutti questi 7 un po' mi fa star male...se penso che si levano tutti i numeri come 70000, 70001 fino a 79999, e poi da 700000 dino a 799999 etc...insomma mi sa che converge pure questa.
facciamo un prova:
se guardo il termine 20 della serie armonica con a=1 ho c20=1/22; il corrispondente termine della serie in questione è invece 1/22 ( ho tolto 2 numeri :7, 17....20+2=22). Fino a qua sembra una cosa da poco...
se guardo però il termine 90000 della serie armonica ho c90000=1/90000 mentre quello della nostra serie è 1/(90000+n) con n>10+100+1000+ 10000...circa 1/101100...se vado più in là avrò termini ancora più piccoli...insomma convergerà pure questa...
La c) si farà...ramanujan che dice:)?
T
18 commenti:
ahahaha ma le dimostrazioni?
la c.. a intuizione... se prendo un numero di miliardi di cifre, sarà più probabile che presenti almeno una volta ogni cifra o no?
pensate in più che infinito non è solo un miliardo di cifre... è l'unica delle tre serie che si comporta veramente come la serie armonica...
dimostrazione...quanto sei formale (a parte che non lo so fare:)...non basta dire che ogni termine è minore o uguale di 1/i e quindi la serie converge?
Mi rendo conto che con questo ragionamento anche somma di 1/2i convergerebbe e invece sono abbastanza (??) sicuro che non lo faccia...quindi c'è qualcosa di sbagliato, hai ragione tu...
esatto,se lo maggiori con una serie convergente hai risolto, altrimento non ti dice nulla, viceversa, se minori con una che diverge, saprai che diverge, ma se lo minori con una convergente puo' convergere come divergere...
il confronto è comunque una strada...(che non so se porta però..)
la dimo della b (mi pare), non è difficile, l'ho rifatta ieri sera, della c invece.. infatti il prob originale era diverso..
vabbè ditemi quando pensate debba metterla e magari insieme si pensa alla c...
mettila quando puoi!
dunque..
consideriamo gli interi di k cifre..
questi vanno da 10^k a 10^(k+1)-1...
in questo intervallo gli interi che noi consideriamo (quelli senza il 7) sono in tutto 9^k (convincetevi da soli di questo)..
ma ognuno di questi interi è maggiore di 10^k, quindi il loro inverso è minore dell'inverso di 10^k, ma allora la somma di tutti questi interi è minore di 9^k/10^k (9^k è il numero di elementi e 1/10^k e l'elemento con cui ho maggiorato ciascuno)...
ma se questo ragionamento si fa per tutti i k.. allora la successione delle somme della serie che abbiamo è minore della successione di S(9^k/10^k)=S(9/10)^k che all'infinito converge.. quindi.. (si puo' anche fare una stima dato che sappiamo calcolarla esattemente essendo serie geometrica, ma non ricordo affatto la formula..)
mmm mi sa che ho sbagliato nel "(convincetevi da soli di questo)"... infatti è vero che le stringhe di lunghezza k scritte con 9 cifre sono 9^k, ma i numeri sono diversi.. potrebbe esserci zero davanti.. 9^k sono infatti tutti i numeri che si scrivono senza il 7 che vanno da 0 a 10^k...
vabbè forse si potrà porre rimedio...
o meglio..
meglio così!! sono ancora di meno!!
mmm
infatti dovrebbe essere 9^k-9^(k-1), ovvero sto eliminando dal caso tutti quelli che iniziano con 0,quindi abbiamno un posto in meno , tra questi ci saranno anche quelli che iniziano con 2, 3 ecc
comunque la serie S [9^k-9^(k-1)/10^k converge
con 2, 3 ..intendevo con due tre ecc ZERI
grande vedeverde:)
sto abbastanza indietro con lo studio però non capisco la tua dimostrazione...
i numeri di k cifre secondo me (è un opinione, no?)vanno da da 10^(k-1) a 10^k -1.
ad esempio i numeri di 3 cifre vanno da 100 a 999, cioè da 10^2 a 10^3-1...e i numeri che devo considerare io sono [10^k -1 -10^(k-1)]-quelli con il 7...che a occhi e croce sono 2*10^(k-1)...ad esempio sempre considerando i numeri di 3 cifre, devo troglierne 99 ( quelli da 700 a 799) e tutti gli altri con il 7 che saranno altri 100...perchè, dunque, 9^k?
e poi non è vero che qualsiasi numero di quelli buoni che prendo è maggiore di 10^k...123 non è maggiore di 1000...
hai ragionissimo sul (scusate se uso parentesi di troppo ma mi sa che è meglio)
[10^(k-1),(10^k)-1], infatti mi ero figurato come esempio proprio 10^3, peccato che ho pensato che 10^3=100
sign..
comunque la dimostrazione dovrebbe essere tutta valida, basta che invece di intervalli di numeri di k cifre considero di k+1 cifre(però anche quà ripensandoci mi sbaglio, ma publico così uguale)
I numeri da 0 a 999 per esempio che non hanno la cifra 7 mi sembrano essere proprio 9^3, perche' 9 sono le cifre che posso usare(0,1,2,3,4,5,6,8,9) (e ripetere) in tre posti differenti..
come le "combinazioni" di una cassaforte con tre posti e nove cifre, come i numeri in base nove che si scrivono con tre cifre.
quindi i numeri da 0 a (10^k)-1 che si scrivono senza il 7 sono 9^k,tra questi alcuni saranno di k cifre altri con meno cifre, perchè puo' esserci lo 0 davanti. Tutti questi numeri "impropri" che non sono di k cifre sono nello stesso numero di tutti quelli di k-1 cifre che non si scrivono col sette, perchè se a ognuno di questi gli pongo davanti lo 0 creo proprio tutti i numeri impropri.
Quindi i numeri con k cifre (propri)senza il 7 sono 9^k-9^(k-1), i loro inversi si minorano con 10^(k-1), avrò allora
S [9^k-9^(k-1)]/10^(k-1)=
10* S [9^k-9^(k-1)]/10^k che converge.
scusate, non minorano, maggiorano,
vabbè, per essere più chiari, tutti quei numeri so' più piccoli di..
vedeverde ho capito il filo della dimostrazione, però ancora non mi sono chiare alcune cose:
-per far vedere che una serie converge, devo minorarla con una serie che converge mi sembra.
quindi la minorazione che mi sembra più ovvia è che il termine k-esimo della somma dell'esercizio (A) sia minore di [9^k-9^(k-1)]/10^(k-1)...perchè come dici tu minoro ogni inverso di numero proprio con k-cifre, con 1/10^(k-1)...e tutti i numeri propri di k cifre sono [9^k-9^(k-1)]...la somma A sarà quindi minore della somma di [9^k-9^(k-1)]/10^(k-1)...e però, come si fa a dire che questa converge?
(dovrebbe essere maggiorano, quando al posto di a metto una b>a allora sto maggiornado mi sembra, vabbè è solo una questine di termini)
l'ho scritto subito dopo!
S [9^k-9^(k-1)]/10^(k-1)= (moltiplico fuori e divido dentro per 10)
10* S [9^k-9^(k-1)]/10^k<=
(addirittura basta il confronto puntuale)
10* S 9^k/10^k =10* S (9/10)^k
che converge e si può perfino calcolare,non ricordo quanto fa però, quindi possiamo stimare (dall'alto) la nostra serie.
rileggendo meglio quello che hai scritto non è proprio come dici tu, perchè io NON maggioro ogni elemento con
[9^k-9^(k-1)]/10^(k-1)
ma maggioro ogni elemento
con 1/10^(k-1), con k numero di cifre del denominatore dell'elemento. Quindi non sto usando, per la prima disugualianza, il criterio del confronto tra le successioni, ma, come hai detto giustamente, confronto proprio la successione delle somme parziali. Per questo ho usato k come lettera invece di tenermi n (?), perchè la serie con cui la maggioro "raggruppa" in un suo elemento la somma di tutti gli elementi con il denominatore con lo stesso numero di cifre.
Che poi mi sembra che sia lo stesso procedimento che serve a dimostrare che la serie armonica diverge (se non si vogliono usare integrali).
vdedeverde ricapitoliamo:
il termine generico di k cifre senza il 7...è minore di 10^(k-1);
la somma di tutti i numeri propri di k cifre è più piccola di 9^k-9^(k-1)/10^k; la somma per tutti i k di quest'ultimo termine è una somma che di sicuro è più grande di quella dell'esercizio dato...poichè posso far vedere che questa converge come hai fatto tu, allora la nostra serie converge.
Controlla...poi la scrivo bene e la metto in evidenza sul blog...
scusa il ritardo, siamo sotto esoneri.
si ok, manca solo una parentesi quadra [9^k-9^(k-1)]/10^(k-1)
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