Penultimo problema proposto da vedeverde (vi lascio in attesa per l'ultimo...io non ho capito neanche cosa chiede :) ). Questo non significa che gli altri siano archiviati, visto che fino s'è (ha) trovato la soluzione solo ad uno.
f(x)=
x^2 se x E [-1,1]\Q
1/2 se x E[-1,1]&Q
(con E:= appartiene, &:= intersezione.)
trova estremo superiore ed estremo inferiore.
T
33 commenti:
Perchè mi sembra banale dire 1?:)
cercherò una dimostrazione più formale ma se l'intuito non mi inganna...
Ah, dimenticavo l'estremo inferiore! ovviamente "intuisco" zero! Però proprio adesso mi viene in mente che l'immagine di quella funzione, pur non essendo l'intervallo [0,1] è un insieme denso in [0,1] cioè è ([0,1]-Q U {1/2}) che "dovrebbe" essere denso in [0,1]
Direi sup=1 ed inf=-1, con successioni di irrazionali che vi convergano. (esistono?)
Bè..non è proprio automatico che l'immagine sia densa in [0,1].. ed è questo il punto. Potete appoggiarvi alla densità di Q in R e alla proprietà archimedea.
Senno' ci andate con successioni, magari è più breve.. non so..
marianaio semplice è roba tua...io non so come si dimostra che un insieme è denso, credo che non basta la definizione:)...
anonimo, perchè non ti firmi la prossima volta? Tanto qua nessuno fa figuracce e nessuno è Nash...ci si diverte e magari si impara qualcosa:)!
non serve che dimostri sia tutto denso, basta un intorno nel punto..
oppure prova la via delle successioni che io non l'ho provata!
lim x^2 per x E [-1,1]\Q e x che tende a 1 è uguale a 1...però mi sa che lo devo dimostrare vero:)?
Prendiamo la serie di razionali che converge a sqrt(2), moltiplicandola per sqrt(2) e dividendola per 2. Ogni somma ridotta n-esima così costruita è un numero irrazionale minore di 1. La serie converge ad 1 ma ci converge con elementi di R\Q... può bastare?
a.p.
Dunque..
cosa ti assicura l'esistenza di una successione del genere?
Se parti da un certo punto di vista questo è vero, cioè' quello che costruisce R da Q, ovvero quello che prende tutte le successioni di cauchy in R e le quozienta rispetto non ricordo a quale relazione (quella però che vede uguali 2 successioni di cauchy che i R avranno lo stesso limite) allora qualdo parli di radice di 2 parli proprio di una classe di successioni di cauchy di razionali.
Se non parti da quel punto di vista ma postuli l'esistenza dei reali con le caratteristiche solite allora ci devi arrivare..
Guardando però indietro nel blog vedo che già l'avete fatto tramite la bisezione!!!
Allora mi sembra tutto ok,ah no..cavolo.
Vedi quà non ti basta una successione di irrazionali che tende a 1, ma deve stare sotto 1! se sconfina oltre e torna indietro, (come farebbe quella costruita per sqrt(2) a partire dalla bisezione) non va bene! forse però si può risolvere questa cosa.
6A riga volevo dire tutte le successioni di cauchy in Q
Se ci crea così tanti problemi, c'è sempre
A := \sum_{k=0}^\infty 1/k!
serie a termini razionali positivi che converge ad e; pertanto ogni somma n-esima sarà un numero S < e.
La serie
B := A / e
sarà allora una serie a termini irrazionali positivi, convergente ad 1. Convergente ad 1 da sotto, eh...
a.p.
grande pugile!!
in effetti prima succedeva quel che dice vedeverde.
la successione che tende a 0 allora potrebbe essere abs (A/e-1) con A la stessa di prima e abs = modulo.
ci state mostrate l'ultimo passo..
arrivate alla def di sup e inf.
Per dirla con una frase fatta, che non vuole offendere nessuno,
Anche un idiota si accorgerebbe che 1 è il sup e 0 l'inf, arrivato a questo punto.
Solo un idiota lo dimostrerebbe.
Incidentalmente dico:
- che il sup è per definizione il più piccolo dei maggioranti;
- che la funzione x^2 in [-1,1] ammette 1 come massimo (e quindi sup);
- che f(x) <= x^2 in una certa parte dell'intervallo, la parte più rilevante in quanto così si ha sup f(x) = sup x^2;
- che ad 1, inteso come il punto x tale che x^2 avrebbe un massimo e quindi f un maggiorante, posso tenderci arbitrariamente con quella successione di irrazionali;
- che quest'ultimo punto, assieme alle altre considerazioni precedenti, non è altro che affermare che 1 è l'estremo superiore di f in [-1,1];
- che tutto questo vale analogamente per l'estremo inferiore 0, e la dimostrazione è lasciata per esercizio.
a.p. (che si diverte poco a dimostrare risultati ovvi, e un po' di più a raggiungerne di nuovi o a stabilire limiti, "storia" e condizioni di validità di quelli attuali; e che tralaltro dimostrare significa anche far vedere, e mi sembra che fino ad ora abbiamo fatto vedere qual è il risultato e come lo si è raggiunto/lo si può raggiungere)
ahahah
si però il mio prof di analisi mi avrebbe bocciato se mi fossi fermato prima, e così mi avrebbe appena dato la sufficineza!
o meglio, esiste un teorema, e neanche banale, che dici cio' che dai per scontato...
penso che l'ottica giusta sia piuttosto:
se va dimostrato il teorema di weierstrass va dimostrato tutto!(tranne gli assiomi).
Certo se si ha un minimo di praticità con questi problemi si usa deliberatamente quel teorema, ma non per questo la cosa è evidente, è, piuttosto, risaputa..
e dare per risaputo non è far vedere...
"e dare per risaputo non è far vedere... "
anche se mi sembra che wittgenstein non la pensasse proprio così...
Allora dovrei dimostrare che e è irrazionale, che la serie 1/k! è convergente, e tante altre belle cose.
Peccato che i libri son pieni di "è banale verificare che", "la dimostrazione è lasciata per esercizio", "è facile convincersi che", "si può dimostrare che". Troverei più onesto che chi pretende ogni dimostrazione, sappia provarmi di averla dimostrata.
Non si può dimostrare tutto, non ce ne sarebbe il tempo e non si scoprirebbe molto. E' interessante sapere da dove vengono le cose, perché e sotto quali ipotesi; più che interessante è istruttivo, almeno agli scopi che può avere chi fa uso della matematica non-fine-a-se-stessa. E' un'altra cosa dall'accettare "formule matematiche" come verità assolute in cui credere e da imparare a memoria. Ma non chiedetemi di dimostrare cose ovvie come il teorema della curva di Jordan, perché dal mio punto di vista è uno sfizio matematico o al più un virtuosismo tecnico, cosa che al momento non mi è utile e non mi interessa.
(spero che questo momento duri molto a lungo)
a.p.
rispetto la tua visione e la preferisco rispetto a tante altre al riguardo, non la condivido però a pieno.. (altrimenti non facevo l'asperante matematico...
comunque, come dicevo in un altro commento, ho scelto i 5 esercizi forse che più richiedono attenzioni di questo tipo, sia per avere senso, sia per trovare una soluzione. Allora, tutti gli errori che sono stati fatti sinora (e non puoi negare ci siano) si insinuano in tutti quei "è banale".."è ovvio" oppure più esplicitamente nei "non so perchè"..
Sicuramente ci sono casi e casi, ci sono situazioni in cui quando si dice è ovvio, è veramente ovvio.. ma un conto è un libro o un professore, che ha dimostrato quella cosa e magari non te la dice, te la lascia fare, un conto se stai risolvendo te un esercizio con le tue mani. E' vero certe cose sono ovvie, ma io non mi sento forse abbastanza sicuro e preferisco andare a controllare.
Non sono un bourbakista ma solo uno studente non troppo sicuro su esercizi volutamente pieni di trappole..
"Troverei più onesto che chi pretende ogni dimostrazione, sappia provarmi di averla dimostrata."
esistono esempi in matematica di affermazioni che sembrano ovvie dimostrate equivalenti ad affermazioni di cui è ovvio il contrario...(russel sull'assioma di scelta)
ah scusate, il pezzo in cui citavo l'altro messaggio fate come se non ci fosse (è una parte del commento che ho cancellato)
Salve a tutti, bel blog.
Molte cosine interessanti.. uff che fatica seguirvi: per capire di cosa state parlando ho dovuto dare un'occhiata a tutti i post pubblicati da quando avete cominciato e leggere un bel po' di commenti.
Andrea, giorni fa bevendo un sorso di C**a C**a (per non fare pubblicità :D), ho ripensato al vecchio problema dell'acqua gassata ed avevo pensato a qualcosa (di molto fenomenologico).. ho visto che però è già bello che risolto :)
Physic Rocks!
(pure la matematica, và... ma un pochino di meno :D)
Vi propongo un bel problemino matematico trovato in giro di cui ho scritto qualcosa sul mio blog:
http://pensieriideeopinioni.blogspot.com/2007/05/leggi-qui.html
Adesso che ho messo il vostro indirizzo tra i segnalibri di Firefox non mi farò sfuggire un post, ciao ciao!
Ops, il link non si legge bene.. ora lo scrivo bene...
- Qui -.
ohhh screzi sul blog:)...
scherzo!
pugile dimostrare ogni cosa che si dice serve per non farsi crollare la terra sotto i piedi quando si devono andare a studiare cose nuove, serve a tenere bene illuminata la strada che ci conduce a quel risultato...insomma, se ci fosse il tempo sarebbe da fare anche se spesso mi ci metto e non ci riesco.
D'altra parte fare questo comporterebbe non andare più avanti..insomma ad essere tutt'altro che disinvolti:)e ciò non va assolutamente bene...
Detto questo anche a me sembra ovvio che il sup sia 1 e l'inf 0...e qui vedeverde voleva solo farci vedere quanto è ...matematico!
in bocca al lupo per l'esame.
Saluto a David (bisognerà trovarti uno pseudonimo qui sul blog:) )grazie della visita, ho letto il problemino...mmmm...domani modelli!
ciao ciao
Tanto perché mi è venuta la curiosità.
Nell'intervallo [-1,1] si ha x^2 <= 1, nonché 1/2 <= 1, quindi f(x) <= 1. Abbiamo dimostrato che 1 è maggiorante.
Consideriamo l'immagine di f, che è contenuta in [0,1] (cioè nell'unione delle immagini del dominio [-1,1] attraverso le funzioni x^2 ed 1/2).
Se 1 (inteso come f di 'qualche x') è estremo superiore, significa che per ogni epsilon positivo esiste un numero positivo y^2 in [0,1] tale che
1 - epsilon < y^2
cioè, osservando che in [-1,1] si ha x^2 <= x
1 - epsilon < y^2 <= y
ovvero
1 - y < epsilon
che è proprio metà della diseguaglianza
|1-y| < epsilon
che ricorda molto un limite.
Per terminare la dimostrazione bisogna costruire questa y. Ma lo abbiamo già fatto: infatti, se
y := 1/e * \sum_{k=0}^{n} 1/k!
questa successione converge ad 1, cioè
\lim_{n} y = 1
che dalla definizione di limite è proprio affermare che per ogni epsilon positivo, esiste un N tale che |y - 1| < epsilon per ogni n>N.
La presenza di y^2 non è casuale. y^2 è un elemento dell'immagine di [-1,1] tramite f, mentre y è un elemento del sottoinsieme degli irrazionali contenuti in [-1,1]. Niente ci assicura - senza dimostrarlo, almeno - che un elemento di y (un numero irrazionale) abbia per quadrato un altro numero irrazionale (cosa che tralaltro, con oggetti come sqrt2, è falsa); cioè, che esista una successione di elementi del dominio di cui la successione y sia immagine. La particolarità di [-1,1] ci permette però di maggiorare la successione y^2 con la successione y, che avevamo scelto con la caratteristica di poter 'eludere' il controllo che fa 1/2 sulla razionalità dell'argomento di f, tendendo arbitrariamente ad 1. Inutile dire che il fatto che 1 sia contemporaneamente massimo e punto di massimo per x^2 in [-1,1] abbia semplificato notevolmente le cose.
Vedeverde, ci siamo?
a.p.
Spero sia ovvio che intendevo che x^2<=x in [0,1], non in [-1,1].
a.p.
ahaha mo domani lo vedo..
grazie dello sforzo!mi sentiro' più tranquillo domani dopo averlo letto
Altra svista, per fortuna chiarita più avanti nella spiegazione:
Niente ci assicura - senza dimostrarlo, almeno - che un elemento di y (un numero irrazionale) abbia per radice un altro numero irrazionale
a.p.
vedeverde ho provato a dimostrare che la somma di 1/n con n numeri con tutte le cifre diverga, ma mi serva che mi abboni questa cosa...
lim n->8 n!/10^n = 8...
scherzo!
come si fa?
Criterio del rapporto,
a(n+1)/a(n) = (n+1)/10 := b(n)
e lim_n b(n) = inf > 1, quindi la serie diverge.
a.p.
Pardon, non parliamo di serie.
Voglio che per ogni M>0 esista un N tale che
n!/10^n > M
per ogni n>N. Ora, vogliamo
n! > 10^n * M
e siccome
n!=n(n-1)(n-2)...*2*1
ha n termini, varrà
n! < n^n
perciò
n^n > n! > 10^n * M
quindi
(n/10)^n > M
cioè
n/10 > sqrt[n](M)
e poiché vale sqrt[n](M) < M per n>1, la condizione diventa
n/10 > M > sqrt[n](M)
cioè
n > 10*M := N
a.p.
Certo, sfruttando il fatto che lavoriamo con quantità positive, e qualsiasi restrizione ad M che limiti i suoi valori a sinistra (cioè nella forma M > k, con k indipendente da n) è irrilevante ai fini del limite.
a.p.
Allora scrivo prima qui per evitare di scrivere un post per qualcosa che magari è sbagliato!
considero la serie di 1/n con n:=numero con tutte le cifre. voglio dimostrare che diverge.
le stringhe proprie di 10 cifre (minimo numero di cifre che posso usare)che hanno tutte le cifre sono
9*9! perchè avendo a disp:
0, 1, 2...9 la prima posso sceglierla in 9 modi (tutte tranne lo 0), la seconda in 9 (beh, ora c'è pure lo 0)...la terza in 8 etc.
Non posso ripetere 2 cifre, sennò non le prendo più tutte. Se considero le stringhe di 11 cifre invece posso ripeterne 1
allora mettiama che ho a disp:
0,1, 2, ....9, n;
se n=0 sono nel caso precedente;
se n non è 0 allora posso scegliere la prima in 10 modi e la seconda in 10 etc...trovo 10*10!
per le stringhe di 12 cifre posso fare un ragionamento analogo...insomma per quanto riguarda le stringhe proprie di k cifre, posso dire che ce ne sono (k-1)*(k-1)!
ora maggioro ogni termine della serie di k cifre con 1/10^k. cioè
1/n > 1/10^k.
allora la somma di tutti i termini di k cifre sarà maggiore di
(k-1)*(k-1)!/10^k.
se sommo su tutti i k questa serie diverge perchè uso il criterio del rapporto e trovo che:
k*k!/10^(k+1) *10^k /[(k-1)*(k-1)!]=k^2/[10*(k-1]...questo per k->8 va a infinito che è maggiore di 1 e quindi la serie diverge. visto che la serie che dava l'esercizio è maggiore di questa e questa diverge, allora diverge pure quella che avevo.
pugile...scusa, t'ho fatto calcolare un limite che non serviva, avevo sbagliato i conti prima:)!
quando mi vedi hai un cazzotto gratis
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