Stavo tentando di risolvere il limite di vedeverde. Ho cercato di scomporre il seno visto che è evidente che tutti i problemi del limite nascono dal numero e nell'argomento. Ecco quello che mi è venuto in mente:
sin(a*b)=Im(e^(i*a*b))=Im((e^i*a)^b)=Im((cos(a)+isin(a))^b)
Applicamo questa cosa al limite: scelgo a=2*n!*pi; b=e
sin(2*pi*e*n!)=Im((cos(2*n!*pi)+isin(2*n!*pi))^b)=Im(1^e)=0!!!!!!!!!
Mi sono poi accorto che ci deve essere un errore. Infatti ad esempio:
sin(4*pi/3)=Im(e^(i*4*pi/3); scelgo a=4*pi e b=1/3 quindi:
sin(4*pi/3)=Im((cos(4*pi)+isen(4*pi))^(1/3))=Im(1^1/3)=0!!!!!!!!!!!!!!!
é evidente che ci deve essere un errore, ma dove?
Tutto il calcolo si basa sul fatto che e^(z1*z2)=(e^z1)^(z2) dove z1 e z2 sono complessi.
Questa cosa dovrebbe essere vera, ma allora quale è il passaggio sbagliato?
Fatemi sapere presto
Ciao
Il marinaio semplice
42 commenti:
marinaio semplice hai scritto che sin(4*pi/3)=Im [e^(i*pi/2)]
ma questa cosa è chiaramente sbagliata, forse è per questo che non ti tornano i conti?
O forse comincio a pensare di non aver capito il tuo dubbio, anzi, mi sa tanto che è così...boh
La dim è fighissima, ma mi sa che il passaggio non troppo lecito è
e^i(a*b)=(e^(i*a))^b...
Infatti la b a primo membro agisce sull'argomento del numero complesso e lo ruota, nel secondo membro invece mi sa che diventa inutile perchè andrebbe ad agire sul modulo ma qui il modulo è 1 e quindi non fa proprio niente (non so se è giusto quello che sto dicendo).
Inoltre secondo quello che dici tu, per ogni n dovrebbe essere 0, non solo il limite...però per n uguale a 1, 2, 3 etc la calcolatrice (ebbene si, vedeverde, io uso la calcolatrice:) )tira fuori altri numeri...che si sbagli lei? Insomma il marinaio semplice contraddice pure le calcolatrici,lo so :)...però...
Ps...felicissimo del fatto che il ms si sia messo all'opera sulla barca!
felicissimo anche il capitano!
che spera in una collaborzione anche sulla capillarita'(vedi tensione superficiale) ;)
spiacenti, am su questa strada non posso aiutarvi..
non farti ingannare dalla notazione: s'è usata solo la formula di eulero e la scrittura "Im" che significa parte immaginaria di un numero...niente di complicato vedeverde, lo capiamo noi fisici:)...
Il fatto è che voi fisici siete molto.. più disinvolti con quello che non si puo' capire a fondo... (giustamente altrimenti rimarreste paralizzati con quello che dovete fare).
cmq io direi che non vale
(e^z)^w = e^(zw) con z,w appartenenti ai complessi..basta un esempio per dimostrare che una cosa non vale,no?
il marinaio dice di averlo dimostrato. marinaio me la scrivi la dim che ieri al volo non l'ho afferrata?
sul limite: io dico che non esiste, non so dim, ma direi che 2n*pi*e non e' mai un multiplo di pi, quindi il seno non si annulla mai. che fa?direi che fa un po su e giu' (?) e quindi il lim non esiste...
a dimostrazione che le calcolatrici e l'intuizione(e questa insomma però..certo va esercitata) non bastano...non è così..
ti riferisci a (e^z)^w=e^(zw) ?
no, ma a:
"direi che fa un po su e giu' (?) e quindi il lim non esiste... "
La dimostrazione è semplicissima:
(e^z1)^z2=e^(z2ln(e^z1))=e(z1*z2) avendo applicato banalmente le proprietà dell'elevamento a potenza e del logaritmo complesso.
Non mi sembra sbagliata!!
scusa la mia ignoranza marinaio...
ma:
(e^z1)^z2=e^ln((e^z1)^z2) ok
ma secondo me nei complessi non vale che ln(z^a)=a*ln(z)
quindi non posso scrivere
e^ln((e^z1)^z2)=e^(z2*ln(e^z1))
...? ciao
allora vedeverde dicci sto limite perche' siamo (sono) a corto di altre idee... o qualcuno vuole altro tempo(da perdere;))?
scusate ma il suggerimento dell'ultimo mio commento proprio non lo calcolate?
Che cosa è e?
io in realtà ci ho provato ma non sono andato da nessuna parte
la questione è semplice se il problema è (per la questione originale..mi serve tempo e puo' darsi che neanche lo so fare)
sin(2 pi e n!)
Il modo particolare con il quale
e*n! va all'infinito, come cercavo di suggerire, è che si approsima sempre di più a una successione di interi!
ovvero la mantissa(la parte fratta)
e*n! tende a 0
(oppure a 1 non so, dipende da come è definita)
Ricordate che cosa è e e dimo sta cosa!
c'è un problema però.. vabbè aspetto che ci arrivate
scusa marinaio ho detto come al solito una marea di cazzate...
valgono sia
ln (z^w)=wlnz
che
(e^z)^w=e^(zw)
Non so perchè il capitano si sia convinto improvvisamente della verità delle mie affermazioni ma sono contento. Ora però, mio caro capitano, siamo in due ad avere mille dubbi!!! vediamo di risolverli!!
veramente siamo in tre:)
comunque...
scrivo e=somma da 0 a infinito (0s8) su n di 1/n!...ora faccio n!*e e quello che trovo è la successione n!*( 1+1+(1/2)+(1/6)+...1/n!)=2*n!+n!/2!+n!/3!+.... n!/(n-1)! +n!/n! per n->8 ho quindi che n!*e tende ad 1 quindi l'argomento del seno è identicamente nullo e l'n davanti non gli fa niente...va bene:)?
La risposta è:
il limite tende a 0!
...In un secondo momento ci si potrebbe occupare anche della formula del binomio di newton...
e ho ritrovato un foglio di appunti di un nostro professore in cui si dimostra che le due definizioni di e (quelle che hai dato tu) sono riconducibili una all'altra, quando ho un po' di tempo la scrivo!
ops...ho detto una ...ata...sorry:)...continuo a pensare:)
Riguardo l'esempio nel post:
sin(4/3 pi) = Im[exp(i 4/3 pi)] =
= Im[exp(i pi/3)^4] =
= Im[(cos(pi/3) + i sin(pi/3))^4] =
applicando la formula di De Moivre
= Im[cos(4/3 pi) + i sin(4/3 pi)] =
= sin(4/3 pi)
Perché non funziona con 1/3? Ma perché 1/3 non è intero, quindi elevare a potenza 1/3 implica l'uso del logaritmo complesso, che è una funzione notoriamente polidroma (con tutti i problemi che ne seguono).
Una delle stranezze è ad esempio che
log(z * w) = log(z) + log(w)
con z e w complessi, NON è vero. Basta prendere z = w = -1, e calcolare il logaritmo principale
Log(-1 * -1) = 0
Log(-1) + Log(-1) = i * 2pi
[logaritmo principale ("Log" con la elle maiuscola): asse di diramazione -pi]
a.p.
Ah, incidentalmente, si definisce
z^c = exp(c * log(z))
con z e c complessi, mentre per c intero "non si passa per il logaritmo" (infatti le potenze ad esponente naturale sono funzioni intere).
a.p.
e è il limite di una successione (che sia questa successione una sommatoria ok) ma non è una sommatoria finita che arriva fino a n. Anche perchè così non avevate neanche dubbi su
n* sin(2 pi e n!)
sarebbe stato 0 di certo.. ma non si fa così!
abbiamo nel seno
2 pi e n!
moltiplichiamo e dividiamo per (1Sn)1/k! (una sommatoria, non una serie).
allora
2 pi* n!*(1Sn)1/k! * e/(1Sn)1/k!
=
2pi (1Sn)[n*(n-1)..k] * e/(1Sn)1/k!
intero tende a 1
intero si riferiva a
(1Sn)[n(n-1)*..k]
e tende a 1 a
e/(1Sn)1/k!
Ciò che dice l'anonimo visitatore di questo umile luogo virtuale è sicuramente giustissimo ma anche evidente!! Ciò che non è evidente invece è la rottura di simmetria nella dimostrazione. In particvolare ciò che è vero è che 1^(1/3) è sicuramente polidroma e uno dei risultati di tale elevamento a potenza è proprio ciò che vogliamo per ottenere una vera uguaglianza nella dimostrazione. Il problema è che nella dimostrazione sono stati fatti semplici passaggi algebrici che da un'inizio in cui il risultato era "monodromo" (cioè unico) lo hanno trasformato in polidromo. In particolare la funzione Im che al'inzio era monodroma, tutto d'un tratto diventa polidroma!! Caro anonimo, il problema non sono i calcoli ma l'alchemia che c'è dietro!!
marinaio...a p è l'aspirante pugile, è troppo pigro per scriverlo tutto il suo nome:)
comunque ora è chiaro dove si incontrano difficoltà.
(sicuramente lo era pure prima, ma io arrivo sempre 10 giorni dopo..)
Im((cos(4*pi)+isen(4*pi))^(1/3))=Im (e^(i*4pi))^(1/3)= Im(e^(i*(4pi+2pi)))^(1/3)=sin(4/3 +k2/3pi) con k =0,1,2.
Ovviamente queste sono le stesse radici di 1^(1/3), tutte traslate di 2pi, quindi appunto sono le stesse.
Forse non si può capire se ci si ferma alla scrittura sin (4/3pi)=3 risultati diversi di cui uno solo quello giusto, però ampliando gli orizzonti la capiamo eccome...
insomma forse è una specie di problema alla flatlandia...
Il fatto che succeda ci farebbe intuire (se non lo sapessimo già)che c'è qualcosa al di sopra.
La cosa del Log è fighissima...tra l'altro nel link "programmi matematici" nella parte destra del blog c'è una cosa sulla radice complessa, che col logaritmo sono più o meno la stessa cosa(a parte il n finito e infinito di piani per renderle monodrome:) )
Per quanto riguarda vedeverde non ho capito(ti sembra comprensibile il tuo post delle 12.43:) ?)... 1/k è una sommatoria, una serie o una successione? sommatoria e serie non sono la stessa cosa?
ho letto solo ora il post in cui dici che i fisici sono troppo disinvolti...hihihi
Il problema è il tempo che non c'è e non c'è neanche ora quindi cerco di essere rapido e più chiaro.
T scrive:
[
n!*e e quello che trovo è la successione n!*( 1+1+(1/2)+(1/6)+...1/n!)=2*n!+n!/2!+n!/3!+.... n!/(n-1)! +n!/n! per n->8
]
ed è una grande frescata perchè, apunto, è differente un sommatoria, che è semplicemente una operazione che mi definisce il termine ennesimo di una successione, e una serie, che è il limite di quella successione. Inzomma è diverso parlare del termine ennesimo e del limite.
e è definito come il limite di quella successione(sommatoria dei 1/k!), ma per nessun motivo posso persare di prendere la mia successione n!e e al posto di e mettere invece del limite, il termine ennesimo della sucessione che def e,[ 1+1+(1/2)+(1/6)+...1/n!], per di più con n lo stesso di n! non si sa per quale motivo! Allora come si fa? Come normalmente si calcolano i limiti, non è che se dentro lim ho una succesione che tende a ..cheneso w, allora immediatamente metto al posto della succesione w! però magari posso moltiplicare e dividere per w.
Qui è il contrario, ho e e posso moltiplicare e dividere per una successione che tenderà ad e (e che non è e pero'), e che magari mi farà comodo per accoppiarla a quel n!.
Moltiplico e divido allora per la
(somma per k da 0 a n) 1/k!,
e qui n è lo stesso di n!, ovvero quello che in questo limite tende a infinito, quindi so che questa cosa tende ad e... il resto vedetelo voi ma già l'ho scritto.
giusto vedeverde:)!
Ma come la metti con quell'n che sta davanti al limite?
hai zero per qualcosa che va a infinito, no?
infatti qui sto risolvendo il caso "semplificato".
Ora, credo che già sia un po' azzardato dire che la parte fratta [di una successione di interi per una successione che tende 1] tenda a 0...
perchè in realtà andrebbe dimo che moltiplicare per un intero "faccia bene" al tendere della parte fratta a 0...
intuitivamente però ci stà.
Ora, se abbiamo n davanti però non basta aver capito questo, ma bisogna capire la velocità con cui ci va, se la velocità di [{a}:=parte decimale di a]
{n!e}->0 è simile a quella di 1/n allora il limite sarà finito e diverso da zero (se esiste).
Anche qui non posso aiutarvoi perchè non la ricordo proprio e dovrei rifarla.
una precisazione:
{a}=abs(a-round(a))
abs(a) è il modulo di a
round(a)= intero più vicino ad a.
ulteriore precisazione/osservazione:
il punto è quindi, trovare il limite di
n{n!e}
e questo limite sarà uguale al limite cercato.
(grazie a quel limite notevole di sin(An)/An che per An->0 tende a 1)
ed è piuttosto diverso da
{n*n!e} che tende a 0.
Eh eh, cari ed odiati numeri complessi..
Nel post utilizzi delle proprietà dell'esponenziale in campo reale con i numeri complessi, questo non è sempre corretto infatti porta ad errori come quelli che hai notato tu stesso, il problema è che occorre utilizzare le proprietà delle funzioni complesse, considerando anche eventuali polidromie:
e^(z1z2)=e^(x1x2 - y1y2)[cos(x1y2+x2y1)+i sin(x1y2+x2y1)]
quindi, banalmente ( se a,b in R):
e^(iab) = cos(ab) + i sin(ab)
invece:
(e^(ia))^b = [cos(a) + i sin(a)]^b = z^b
questa è un po' diversa, infatti ( se c in C e z=r e^(iArg(z)) )
z^c == e^(c log(z))
= e^[c*(ln(r) + i(Arg(z)+ 2 k pi))]
nel nostro caso (z = cos(a) + isin(a) = e^(ia):
z^b = e^[b*(ln(1) + i(a + 2kpi))]
=e^(iab + i2k b pi)
Infine, dopo tutte queste parentesi, si può facilmente spiegare perchè il tuo esempio non ti tornava, semplicemente hai scelto il ramo sbagliato della funzione. Con le corrette definizioni invece torna tutto:
e^(i4pi/3) = (e^i4pi)^1/3 =
= z^1/3 = dalla def=
= e^(i4pi/3 + i pi 2k/3), k=0,1,2
per k=0 ottieni la soluzione principale, quella che ti fa tornare in conti.
per k=2 ottieni la soluzione con il segno della parte immaginaria opposto a quello del sin(4pi/3).
per k=1, invece, hai il numero complesso 1+i0, cioè quello che ti disturbava.
Che fatica...
A presto!
Ciao David...grazie dell'intervento!
Secondo quello che dici tu non vale quello che dice il marinaio semplice...cioè:
(e^z1)^z2=e^(z2ln(e^z1))=e(z1*z2)
perchè da quello che mi sembra di aver capito tu hai fatto vedere che e^(iab)=(e^ia)^b solo per k=0.
Ma allora quale delle due uguaglianze non vale di quelle in alto? Nella prima si applica solo la def di esponenziale complesso...forse la seconda,ma perchè? In ogni modo pure assumendo che valgano quelle due uguaglianze, i problemi (la polidromia) vengono dopo.
Bella e semplice la dimostrazione della formula di eulero che hai dato, non la conoscevo così.
E' la seconda delle 2 uguaglianze che ha problemi: il fatto è che il logaritmo complesso log(z) (in genere si usa log(z) per indicarlo, mentre ln(x) è il classico logaritmo in campo reale) è una funzione polidroma, in generale per un z ha infinite soluzione (una per ogni k, si riducono a un numero finito se quello che stai facendo è una radice ennesima, che si esprime in campo complesso sempre tramite la funzione log)*.
La funzione esponenziale invece ha sempre una sola soluzione proprio per come è definita.
Quindi, scrivendo
e^(z2log(e^z1))=e(z1*z2)
hai a sinistra un insieme di soluzioni differenti (finito o infinito) mentre a destra una unica soluzione, è strano, no?
Quello che stai facendo è, implicitamente, prendere una particolare soluzione della parte sinistra che però non sempre è quella giusta per te. Comunque, tra tutte le soluzioni del membro sinistro c'è sempre la soluzione del membro destro, quindi basta cercare bene...
* Qualche definizione di funzione complessa polidroma tanto per tenere in mente i concetti chiave:
Rappresentazione di z:
z= r*e^(i arg(z))
arg(z) = Arg(z) + 2kpi
Arg(z) è l'argomento principale di z, che appartiene a (-pi, pi]
Logaritmo di z:
log(z) =def= ln(r) + i arg(z)
= ln(r) + i (Arg(z) + 2kpi)
la parte reale è unica, ma ha infinte soluzioni diverse per la parte immaginaria: una per ogni k.
Radice ennesima di z:
sqrt^n(z)= z^(1/n) =def=
= e^(1/n * log(z) )
= e^[1/n * (ln(r) + i(Arg(z) + 2kpi))]
= e^[ln(r)/n + i(Arg(z)/n + 2 k/n pi)]
= r/n * e^(i(Arg(z)/n + 2 k/n pi))
Sono numeri complessi di modulo r/n. Le soluzioni sono n (per k=0,..,n-1), tutte le altre poi ripetono semplicemente quelle precedenti in modo ciclico.
Tu dici che
e^(z2log(e^z1))=e(z1*z2)
ha problemi perchè log (e^z1) da infiniti risultati, essendo il logaritmo una funzione polidroma, mentre a destra ne scrivo solo uno.
Quello che credo di aver capito allora è che log (e^z1) non è solo z1.
Ma allora, quando scrivo
z^b=def=e^b log(z) non commetto un errore?
cioè a me sembra che qui si usi che log(z^b)=b log(z) e se z =e è proprio quello che tu dice che non deve accadere.
O forse lì non si usa proprio niente, è una definizione e basta...insomma non vorrei dire cretinate, visto che già ne ho sparate tante, però a me questa storia non è ancora troppo chiara.
z^b =def= e^b log(z)
è la definizione della funzione complessa f(z)=z^b, con b in generale complesso.
Il fatto che log(z) abbia infinite soluzioni ti dice che f(z) stessa è una funzione polidroma.
Tu non è che utilizzi la proprietà log(z^b)=b*log(z) ma semplicemente, quando dai la definizione di una nuova funzione in campo complesso, te la inventi in modo che ricordi un qualcosa di familiare cosicchè quando ci metterai poi dei valori reali ti aspetti che tra le soluzioni (magari quella del ramo principale) ci sia la vecchia soluzione reale.
La definisci così apposta, solo che adesso non puoi applicare quella proprietà con la stessa leggiadria di prima, ci vuole più attenzione perchè rischi di perderti delle soluzioni.
Se guardi la definizione del logaritmo vedi che pure questa ricorda il logaritmo reale (la parte reale è proprio quella) solo che ha come termine immaginario una quantità strana, l'argomento del numero complesso.. dici: a che cavolo serve?.. servirà, io credo, per far tornare i conti quando metti il logaritmo insieme ad altre funzioni, in effetti alla fine pare che così tutto giri bene. La cosa sconveniente, però, è che ti becchi 'sto logaritmo con infinite soluzioni e che non ha più quelle comode proprietà che aveva in campo reale. Prendere o lasciare.
Potresti anche provare a definire un nuovo logaritmo e vedere dove ti porta.. però io lascerei fare queste cose ai colleghi di vedeverde, noi siamo fisici: prendiamo gli strumenti che ci danno, con il libretto d'istruzioni, e usiamoli per fare qualcosa fi fico. :D
Non so se sono stato chiaro, non credo molto...
Ma tutto questo che c'entrava con il limite di vedeverde?? mica si utilizzano funzioni complesse o di altro genere...
Io, utilizzando la definizione di "e" come serie sono arrivato ad avere nell'argomento del seno una somma di frazioni che separatamente tendono a zero ma non so invece la loro somma che andamento abbia.. non c'è una soluzione?
vedi sopra.
(ma non è completa)
(ed è tutto quello che so)
ah una cosa interessante però...
oodio credo interessante..
senza il due dentro al limite ottengo una successione da cui si possono estrarre sottosuccessioni
convergenti ad un qualunque reale..
(in realtà non credo sia una cosa rara forse, non so)..
allora oggi studiando i moti centrali ho notato un po' un'analogia tra questo limite e l'orbita di un moto centrale..
perchè se il tempo impiegato per andare da un massimo del raggio (ro) all'altro è commensurabile con 2pi (ovvero se è un multiplo razionale di 2pi) allora l'orbita è chiusa, se invece non lo è, è densa (nella corona in cui sta).
Solo che l'arnold non dimo la densità (come non dimo quasi tutte le cose) e neanche l'olivieri o l'esposito... perchè per la prima parte l'analogia non è che è molto interessante, ma magari per la seconda...
David sei stato chiarissimo, grazie! se leggi i commenti in alto (o lo stesso post del m.s.) capirai perchè tutto questo c'entra col limite.
Per vedeverde:
non ho capito l'analogia tra il limite e il fatto dell'orbita, che pure ricordo.
Ciao
la successione di cui parlo è
n Sin(§ n!)
se § è multiplo razionale di pi allora la succesione da un certo punto in poi è 0.(e potrebbe assomigliare alla chiusura dell'orbita)
se § non è multiplo razionale di pi allora la successione non ha limite, ma per qualsiasi reale è possibile estrarre una sottosuccessione convergente a quel reale.(e potrebbe assomigliare e essere collegato alla densità)
infatti..
uno dice: preso un punto nella corona x0, per qualsiasi y > 0 esistono infiniti tempi t per cui |x(t)-x0| < y.
l'altro: preso un punto nei reali a0, per qualsiasi y > 0 esistono infiniti indici n per cui
|an-a0| < y.
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